nikmil
Član broj: 45895 Poruke: 55 85.94.113.*
|
Da, trebala su mi 1-1 preslikavanja. Ako imamo 1-1 preslikavanje S->(0,1) i drugo (0,1)->S, onda postoji i bijekcija S<->(0,1) (Šreder-Bernštajnova teorema). Znači da je card S = card (0,1). To mi je trebalo da dokažem.
Što se tiče ovog "geometrijskog" rešenja, ideja mi je bila da svaku tačku (x,y) gdje je x+y=n, 0<n<2, preslikam u neki interval (a, a + n*sqrt(2)), gdje je a>1. Pošto x+y=n, s datim ograničenjima 0<x,y<1, opisuje duž dužine n*sqrt(2) bez krajnjih tačaka (n,0) i (0,n) (ili duž dužine (2-n)*sqrt(2), u slučaju da je n>1), onda se može naći bijekcija koja preslikava tu duž u duž jednake dužine na osi x. Tako za neko n1 tačke (x,y) gdje je x+y=n1 preslikamo u neki interval jednake dužine na osi x, tj. u (a, a+n1*sqrt(2)), pa za sledeće n2 tačke (x,y), x+y=n2 preslikamo u novi interval na osi x, ali ga malo "odmaknemo" od prethodnog intervala tako da nemaju presjek. Takva funkcija je 1-1 preslikavanje (x,y) u neko m>1. Sad napravimo novu funkciju koja preslikava m u 1/m. Kompozicija ove dvije funkcije je 1-1 funkcija S->(0,1). Znam da ovo nije baš rigorozno, ali uz malu doradu moglo bi biti.
Tako da ove krive na slici ne prestavljaju nikakvu funkciju, nego samo pokazuju da se tačka A preslikava u A'. Zaboravio sam da im dodam strelicu na kraju :) Izvinjavam se.
Što se tiče ovog drugog zadatka, tek sam kasnije provalio da "sequence" znači niz :) Ja sam prvo kontao da su u pitanju n-torke, i da n u tom slučaju mora biti konačan broj. Evo rešenja:
Pretpostavimo da je S prebrojiv. Onda postoji bijekcija f: N->S.
N S
1 -> f(1) = (a11, a12, a13, a14, ...)
2 -> f(2) = (a21, a22, a23, a24, ...)
3 -> f(3) = (a31, a32, a33, a34, ...)
...
Sad definišimo b = (b1, b2, b3 ...) gdje je b_i = 0, ako je aii=1 ili b_i=1, ako je aii = 0.
Tada b nije jednako a_n, za n iz N, jer b = a_n <=> (b1, b2, b3,..., bn,...) = (a_n1, a_n2, ..., a_nn,....) <=> b1=a_n1 i ... i bn = a_nn. Međutim ako je a_nn = 1 onda je bn=0 i obrnuto, pa sledi da bn nije jednako a_nn, tj. b nije jednako a_n, pa b nije elemenat f(N). Očigledno je da je b elemenat S, i kako b nema svoj orginal, funkcija f nije bijekcija. S je neprebrojiv.
Hvala svima još jednom. Ovi skupovi znaju da budu baš naporni.
|